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Peter Gröbner:
Mathematik zwischen Kreativität und Formalismus


Zu allen Zeiten gab es Menschen, die der Mathematik einen großen künstlerischen, ja sogar mythischen Anspruch zuwiesen. Der Bogen spannt sich von der philosophisch-religiös motivierten Schule der Pythagoräer mit der Hinrichtung aus arithmetischen Gründen über die stark mathematisch orientierte Kultur der Maya bis zur abendländischen Kultur der Neuzeit.


Die Worte von Laplace: "Besaßen Newton und Lagrange in höchstem Maße jene glückliche Kunst, die allgemeinen Prinzipien zu entdecken, welche das eigentliche Wesen der Wissenschaft ausmachen. Diese Kunst, verbunden mit einer seltenen Eleganz in der Entwicklung der abstrakten Theorien, ist für Lagrange charakteristisch ...", können als Beispiel ebenso dienen wie die Zeilen von M. Dierkesmann über F. Hausdorff: "Er trug strenge Wissenschaft mit künstlerischer Art vor. Er verband die unbedingte Klarheit mathematischer Denkweise mit künstlerischer Leichtigkeit ..."


Hardy formuliert das Problem in völliger Klarheit: "The mathematician´s patterns, like the painter´s or the poet´s must be beautiful; the ideas, like the colours or the words, must fit together in a harmonious way. Beauty is the first test: there is no permanent place in the world for ugly mathematics. ... It would be difficult now to find an educated man quite insensitive to the aesthetic appeal of mathematics. It may be very hard to define mathematical beauty, but that is just as true of beauty of any kind we may not know quite what we mean by a beautiful poem, but that does not prevent us from recognizing one when we read it."

Gerade am Anfang unseres Jahrhunderts gab es allerdings immer mehr Ansätze zu einer streng formalen Betrachtung der Mathematik, wie die Versuche zur Axiomatisierung beweisen (Gödel, Zermelo). Es scheint in der letzten Zeit geradezu Mode geworden zu sein, mathematische Erkenntnisse auf heuristisch-kreativem Weg zu gewinnen (wie sonst?) und bei der Publikation unter einem solchen Formalismus zu verbergen, dass man als uneingeweihter Leser weder den Weg zu ihnen noch ihren Sinn erkennen kann (vgl. das Vorwort zu Cigler). Genauso wie bei der wissenschaftlichen Erkenntnis auf die kreative Idee die formale Absicherung folgt, scheint nach einem kreativen Schub im 18. Jahrhundert (Euler) jetzt die formal-axiomatische Phase (Bourbaki) angebrochen zu sein.

Mathematikunterricht zwischen Kreativität und Formalismus

Bereits der russische Mathematiker S. N. Bernstein schreibt: "Ich will nicht darüber streiten, dass jedes beliebige Gebiet der Mathematik als glänzendes Beispiel genauen logischen Denkens dienen kann, jedoch habe ich nicht bemerkt (und die Erfahrung meiner Kollegen sind sicherlich nicht glücklicher), dass das Studium der Mathematik, wenn es nur im Wiederholen fremder logischer Gedankengänge besteht, die Fähigkeit zum selbstständigen folgerichtigen Denken entwickelte. Wir sehen, dass die Beweise von Lehrsätzen und Formeln ebenso auswendig gelernt werden wie etwa die grammatischen Regeln und Gedichte in fremder Sprache. So wie das eine wird auch das andere bald wieder vergessen, und im besten Fall bleibt im Gedächtnis des Schülers nicht mehr als 1/10 der theoretischen Schulweisheit, mit der man ihm jahrelang den Kopf vollpackt. Ohne an die Frage zu rühren, wie die anderen Zweige der Wissenschaften zu unterrichten seien, meine ich, dass Grund- und Mittelschulen bestrebt sein müssen, dem Schüler hauptsächlich nur die Kenntnisse (und Fertigkeiten) zu vermitteln, die nicht vergessen werden können, und die sich so organisch seinem Bewusstsein einfügen, dass er sich instinktiv ihrer bedienen, ohne Anstrengung des Willens und ohne Zweifel, so wie er auch geht, spricht und liest."

Was wird in unserem Land zu unserer Zeit von den Schülern verlangt? Der Lehrplan für die AHS-Oberstufe fordert unter anderem, "die Schüler sollen

  1. mit mathematischen Methoden ... vertraut werden
  2. ihr mathematisches Wissen und Können ... anwenden können
  3. ein Bild der Mathematik gewinnen."

Punkt 1) spricht die Erwerbung von innermathematischen Fähigkeiten (Beherrschen von Algorithmen) an, wie es dem traditionellen Mathematikunterricht vergangener Jahrzehnte entspricht.
Punkt 2) betrifft die Anwendbarkeit mathematischen Wissens, seit Jahrzehnten von Schülern, Lehrern und der Öffentlichkeit gefordert, aber gerade von den Schülern in der konkreten Situation oft abgelehnt ("Bitte keine Textbeispiele!"). Möglicherweise sollten die Anwendungen auch eher in den anderen Fächern vorgenommen werden, was für eine verstärkte Zusammenarbeit der Klassenlehrer, eventuell mit Team-teaching, sprechen würde.
Punkt 3) schließlich zielt auf das Verständnis mathematischer Methoden und ein Wissen darüber, was Mathematiker eigentlich tun.

Soweit die Forderungen des Lehrplans. Die Realität der Schulbücher und damit in vielen Fällen auch des Unterrichts sieht oft anders aus. Die französische Kritikerin des Mathematikunterrichts Baruk kritisiert die starke Betonung der Ausnahmen von den Regeln, von Begriffen wie Nullmenge, Nullfunktion und Nullvektor im Mathematikunterricht. Für eine wissenschaftliche Korrektheit ist zwar die Erwähnung dieser Ausnahmefälle unabdingbar, vor allem den weniger mathematisch begabten Schüler verwirrt sie aber nur. Baruk unterstellt den Schulbüchern: "Bei Definitionen hört der Spaß auf. Es geht darum, das mathematische Wissen abzudecken, und nicht darum, von den Schülern verstanden zu werden. (...) Das Messer ohne Klinge, bei dem der Griff abgebrochen ist, in den Mathematikbüchern können Sie es finden." Ein Beispiel aus Österreich: "Das skalare Produkt zweier vom Nullvektor verschiedener Vektoren ... ist genau dann gleich 0, wenn diese Vektoren aufeinander normal stehen." Das für das Verständnis entscheidende Wort "normal" kommt erst an vorletzter Stelle im Satz, die Aufmerksamkeit des Schülers fesselt am Anfang der Nullvektor. Das entscheidende ist aber die Normalität (im mathematischen wie im üblichen Sinn), nicht die triviale Ausnahme. In einem anderen Lehrbuch für dieselbe Schulstufe wird hingegen der Nullvektor erst nach der Definition in einer Bemerkung erwähnt, außerdem wird eingeräumt, "solche ´Orthogonalvektoren´ wollen wir in Hinkunft jedoch im allgemeinen unberücksichtigt lassen." Wohl zurecht.
Baruk schreibt über die Nullfunktion: "Sie ist zwar eine Null, und was man an ihr lernen kann, ist auch Null". In österreichischen Schulbüchern nimmt die Nullfunktion zwar keine derart prominente Stelle ein. Dafür wird aber über das Verbot, durch Null zu dividieren (Bestimmung der Definitionsmenge) sicher mehr gesprochen als durch jede andere Zahl dividiert wird. Man bestimmt die Definitionsmenge als sinnvolle Teilmenge der Grundmenge. Was ist dann aber die Grundmenge? Eine beliebige (sinnlose?) Obermenge der Definitionsmenge. Ihre Bedeutung liegt nur im Unterricht, als Angabe für ein Beispiel, mathematisch ist sie bedeutungslos.


Diese Überlegungen sind nun aber nur dann von Bedeutung, wenn man die Mathematik weiterhin als integralen Bestandteil der abendländischen Kultur ansieht, der jedem Schüler einer AHS nahegebracht werden soll, so wie sie im Mittelalter die größere – wenn auch nicht immer bedeutendere – Gruppe der freien Künste, das Quadrivium bildete, allerdings unter Einschluss der (theoretischen) Musik, was gerade in Hinblick auf unsere Schulformen (musikalischer Zweig) von Interesse sein dürfte. Heute wird die Bedeutung der Mathematik für die Geistesbildung oft wegen der Übernahme vieler mathematischer Aufgaben durch die elektronische Datenverarbeitung in Frage gestellt. Es scheint aber dennoch nicht so zu sein, dass die Mathematik nur mehr von einer kleinen Gruppe Eingeweihter betrieben werden wird, die die Programme "warten", die von der großen Masse der Anwender als "Black Box" verwendet werden. Denn dadurch würden eben jene Aspekte der Mathematik, die jederzeit mühelos maschinell erledigt werden können, ihren Reiz verlieren. Die weltweite Vernetzung ("global village", "Daten-Highway") ermöglicht den jederzeitigen Zugriff auf eine Unmenge lexikalischen Wissens, der jedoch ohne Grundkenntnisse, Blick für das Wesentliche und die Fähigkeit zum Erkennen von Zusammenhängen schwierig und uninteressant werden dürfte. Vielleicht besteht gerade darin die zukünftige Aufgabe einer allgemeinbildenden höheren Schule, jene Voraussetzungen zu schaffen, die zur effektiven und kritischen Nutzung dieser Datenmengen notwendig sind.

Beurteilung im Mathematikunterricht zwischen Kreativität und Formalismus

Die Beurteilung des Wissens eines Schülers im Mathematikunterricht, wie einfach und objektiv sie oft scheint, birgt doch mehrere Fallen in sich:
Baruk bringt wieder Beispiele, bei denen ein Schüler eine Methode, die in einem Fall anwendbar ist, in einem anderen nicht, unterschiedslos in beiden Fällen anwendet, wodurch er einmal ein richtiges und einmal ein falsches Ergebnis erhält. Bei der Anwendung eines Punktesystems bekommt er nun die Hälfte der Punkte, obwohl er offensichtlich nicht weiß, unter welchen Umständen er die Methode, die er beherrscht, verwenden kann. Es handelt sich dabei um ein vorhandenes, aber nicht anwendbares (Halb-)Wissen, das in der Schule trotzdem belohnt wird, eben mit der halben Punktezahl. "Eine Instanz, die jeder Logik spottet, ruft den Lehrer auf, Punkte zu verteilen ... Dieses Gewebe von Widersprüchen bringt seinem Urheber eine mittlere Note ein. Ich vermute, das soll heißen, dass er im Mittel weiß, ... dass er es im Mittel auch nicht weiß, dass er seine Aufgaben mittelmäßig gut und somit mittelmäßig schlecht löst und vermittels einiger Mitteilungen dieser Art bald nichts anderes mehr wünschen wird, als im Mittel zu liegen, ... ohne noch die Mittel eines Blicks zu würdigen, mit deren Hilfe er dort angekommen sein wird."

H. Bürger und Tönies schreiben im Kommentar zum Mathematiklehrplan, "ein einziger Rechenfehler bei einer Aufgabe kann Schüler daran hindern, das Wissen zu dieser Aufgabe überhaupt zu zeigen, und kann die Schüler in eine Angstsituation versetzen." Im krassen Gegensatz dazu bemerkt E. Lederbauer in einem Artikel in einer Lehrerzeitschrift kritisch, dass an der AHS vorwiegend das Verständnis beurteilt wird und Angabe- und Rechenfehlern geringerer Wert beigemessen wird, während an BHS in Hinblick auf die spätere berufliche Anwendung der numerischen Korrektheit größere Bedeutung zukommt. Ich glaube allerdings, dass in der Arbeitswelt nahezu jede praktische Anwendung der Mathematik vor ihrer konkreten Realisierung von mindestens einer anderen Person überprüft wird, was die Auswirkungen solcher Fehler beschränkt. Als Ausweg in diesem Dilemma bietet sich an, Aufgaben zu stellen, die sich nicht (nur) im Lösen von Beispielen erschöpfen: z. B. Finde eine Angabe zu folgender Rechnung ... Erfinde ein Beispiel, bei dem eine bestimmte Methode anwendbar ist (evtl. mit Lösen des Beispiels). Erläutere, warum man ein Beispiel so und nicht anders löst. Variiere die Angabe so, sodass eine Technik nicht mehr/ eine andere schon anwendbar ist.


Bei der Beurteilung solcher Aufgaben finde ich ein Punktesystem noch weniger angebracht, wie ich überhaupt meine, dass es nur einen scheinbaren Vorteil darstellt. Es ist nur insofern objektiv, als jeder Lehrer dadurch zur selben Beurteilung kommen müsste. Das ist aber kein Kriterium für Gerechtigkeit, auch eine Reihung etwa nach dem Familiennamen führt immer zum gleichen Ergebnis. Als Grundlage für die Beurteilung reicht, glaube ich, die Leistungsbeurteilungsverordnung durchaus aus. Es ist kein Problem festzustellen, ob ein Schüler die wesentlichen Anforderungen überwiegend oder zur Gänze erfüllt hat oder ob er mehr oder weniger weit darüber hinaus gehende Leistungen erbracht hat. Diese Einstufung seiner Leistungen ist dem Schüler auch leichter verständlich zu machen als eine Zuordnung zu 24 oder 32 oder gar 80 verschiedenen Punktezahlen. Die Anwendung eines Punktesystems halte ich für das Ergebnis einer materialistischen Haltung, die meint, alles, auch zutiefst menschliche Eigenschaften, wie die Intelligenz bzw. ihre Leistungen und auch die Kreativität, durch Zahlen erfassen zu können und zu müssen.

 

Peter Gröbner ist Lehrer an der HIB.
Mit freundlicher Genehmigung des Autors, 1995

Aus: Schulheft 78 (1995): Neues Lernen - Neue Gesellschaft

 

 

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